Diagonalisierte Primzahlen

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Die Protagonisten unserer heutigen Episode »Mathematik, die aussieht wie Blindenschrift.«

Ihr sitzt in einer Konferenz. Der Kaffee ist leer, das Paper immer noch so langweilig wie vor einer Stunde. Vor euch ein Blatt Papier. In eurer Hand ein Stift. Benutze »Stift« mit »Blatt Papier« und, zack, habt ihr schon bald krude Zeichnungen vor euch liegen. Vermutlich Kreise. Vielleicht Gesichter. Eventuell Buchstaben. Möglicherweise Zahlen.

Wäret ihr nicht ihr, sondern Stan Ulam1; säßet ihr nicht irgendwo zur Paperbesprechung, sondern am US-Atombombenentwicklungsstandort Los Alamos; wäre es nicht 2011 sondern 1963: Ihr hättet vermutlich eine interessante Entdeckung gemacht.

Ulam fing bei seinem Rumkritzeln an, Zahlen in spiralenform aufzuschreiben. Die 1 in der Mitte, 2 rechts daneben, 3 darüber, 4 links davon, 5 links davon, 6 darunter… — langsam hinaus-spiralisieren. Für die ersten 110 Zahlen2 sieht das ungefähr so aus:

Beginnend mit einer beliebigen Zahl (z.B. 1, siehe Abbildung) wird nach außen spiralisiert.


Weil Ulam gerade so funky drauf war, fing er an, alle Primzahlen in seiner Zahlenspirale zu markieren. Weil das physikBlog noch funkiger drauf ist als Ulam, haben wir das mal mit Katzenmarkern gemacht.

Primzahlen wurden in Ulams Spirale durch sog. Katzenmarker verdeutlicht.

Ulam — und euch sicherlich auch — fiel schnell auf, dass sich durch das Markieren ein Haufen Diagonalen in der Spirale ergeben haben.

Ulam entdeckte seine Spirale. Die Ulam-Spirale.

Ulam-Spirale auf dem Titel des Scientific American 1963.

Schnell ging seine neue Entdeckung durch die wissenschaftliche Gemeinde. Im März des nächsten Jahres 1964 bildete sie sogar das Titelbild von Scientific American.
Und obwohl fast 50 Jahre alt, ist die Anordnungstendenz der Primzahlen noch immer nicht ganz verstanden.

Die Spirale kann zu großen Zahlen3 fortgesetzt werden und auch dort findet man Diagonalen. Das Prinzip ist unabhängig der Drehrichtung und funktioniert sogar, wenn man im Inneren nicht mit 1, sondern mit einer beliebigen anderen Zahl beginnt. Und auch wenn man anstelle der eckigen Spirale von Ulam eine klassische Spirale4 zum Auftragen benutzt, erkennt man die Primzahlbesonderheiten — man hat dann die Spirale von Sacks5.

Richtig abgespacet wird es, wenn wir Euler dazunehmen.

His Eulerness entdeckte zweihundert Jahre zuvor folgende lustige Formel zur Generierung von Primzahlen: \(P(n) = n^2 – n + 41\).
Für positive, ganzzahlige Werte von \(n\) werden bis 41 nur Primzahlen generiert. Aber auch darüber hinaus geht’s primzahlmäßig ab: Setzt man für \(n\) Werte kleiner 10.000.000 ein, sind die dadurch entstandenen Zahlen zu 47,5% Primzahlen.
Soweit, sogut.
Und Ulam? Beschränkt man \(n\) auf gerade Zahlen, z.B. indirekt durch Modifikation der Formel auf \(P(n) = 4n^2 – 2n + 41\) und schaut sich die dadurch erhaltenen Primzahlen in der Ulam-Spirale an, so ergibt sich eine lange Diagonale im 45°-Winkel. Crazy! Die Diagonale werdet ihr jetzt in jeder Darstellung einer Ulam-Spirale wiedersehen — you’re welcome.

Die Formel lässt sich auch verallgemeinern: Über \(U(n) = a n^2 + b n + c\) werden für viele ganze Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\) beim Durchlaufen von \(n\) überdurchschnittlich viele Primzahlen generiert6.

Auch Marilyn Monroe mag Ulam-Spiralen. Bestimmt.

Mathematisch also total super.
Aber was machen Physiker und andere Individuen, die Mathematik in die Hand bekommen? Richtig: Bunte Bildchen.
Und die kann man zu Ulam-Spiralen ganz wunderbar generieren. Ein paar dazu gibt’s bei »Ulam Spirals Unleashed«7, auf der passenden Imathination-Seite oder in der Google-Suche.

Mehr zur Spirale gibt’s auf der deutschen und der englischen Wikipedia, bei »Abarim Publications«, im ScienceBlog »Good Math, Bad Math« und vielen, vielen mehr.

Die Katze aus den Katzenmarkern kommt von diesem flickr-Bild von a f.

  1. Der besitzt, genauso wie Feynman, ein cooles Los-Alamos-Bild. []
  2. Ulam war schließlich sehr langweilig. []
  3. Also größere als 110. 112 z.B. []
  4. Eine archimedische Spirale. []
  5. Sacksspirale. Mit zwei s in der Mitte. []
  6. Liebe Mathematiker, wenn ihr eine bessere Formulierung in ähnlicher Knappe habt: nur zu! []
  7. Der benutzt Ulam-Spiral-Algorithmen als Grafikkarten-Benchmarks. Spacey! []
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10 Antworten auf Diagonalisierte Primzahlen

  1. Senfi sagt:
    #1

    Oh, das ist ja spannend. Wusste ich noch nicht. Und das, obwohl wir uns in Krypto in ganzes Semester mit Primzahlen beschäftigt haben.

  2. Andi sagt:
    #2

    @Senfi: Aus Primzahlsicht ist Ulams Spirale ja auch nur eine weitere Art, Primzahlen zu generieren. Und wenn mich mein Laienwissen nicht täuscht, dann gibt’s dazu einige Algorithmen – vermutlich sogar elegantere. Nichts desto trotz: Die Spirale ist cool. Period.

  3. Basti sagt:
    #3

    Ich würde ja gerne mal sehen wie so eine Spirale aussieht, wenn man Zufallszahlen markiert. Oder alle Zahlen die durch 7 teilbar sind, oder alle bei denen im griechischen Zahlwort ein Kappa vorkommt. Würde man da nicht auch Diagonalen sehen? (Übrigens muss ich zugeben, dass mir keine Diagonalen aufgefallen wären, hätte man mich nicht drauf gestoßen.)

  4. Andi sagt:
    #4

    @Basti: Das mit den Zufallszahlen würde mich auch interessieren. Setz das doch mal in ROOT um! ;)
    Ich sehe die Spiralen schon, aber ich finde, bei dem verlinkten Bild zur Eulerschen Primzahlfunktion wird’s am deutlichsten. Da gibt’s eine lange, nur kurz unterbrochene Diagonale.

  5. Nikolas sagt:
    #5

    hm, so richtig beeindrucken mich die Diagonalen noch nicht. Dass sich Primzahlen auf Diagonalen anordnen, bedeutet ja erstmals, dass sie alle ungerade sind. Schließlich käme man über einen geraden Schritt vertikal oder horizontal immer auf eine gerade Zahl.

    Dass häufig mehrere Primzahlen diagonal nebeneinander liegen ist dann vielleicht schon etwas beeindruckender, aber auch hier würde ich gerne erstmal eine Probe gegen den Zufall machen. Wie sieht es denn beispielsweise aus, wenn man die Anzahl aller Primzahlen unter 10.000 nimmt und einfach mal ebenso viele ungerade Zahlen in der Spirale zufällig markiert. Sieht das Bild dann viel anders aus?

  6. Andi sagt:
    #6

    @Nikolas: Primzahlen auf Diagonalen ist nur das tollste Phänomen der Ulam-Spiralen. Man findet wohl auch Vertikale und Horizontale häufiger als ‘normal’.
    Wegen des Markierens von ungeraden Zahlen < 10.000, das gleiche, wie bei Bastis Zufallszahlen: Macht doch mal :). Das würde mich auch interessieren!

    Dass das hier keine von mir ausgedachte Sache ist, oder etwas, was sich ein paar nerdige Freaks (ok…) auf der Diskussionsseite eines Wikipedia-Artikels zusammengereimt ist, sondern etwas, worüber sich ein paar Mathematiker-Experten das Gehirn zerdrücken, dazu vielleicht dieser Suchlink in Google Scholar: http://scholar.google.de/scholar?hl=de&q=ulam%27s+spiral&btnG=Suche&lr=&as_ylo=1950&as_yhi=2000&as_vis=0

  7. Nikolas sagt:
    #7

    ich will auf keinen Fall behaupten, dass ich die Ulam-Spirale uninteressant finde. Schon, dass sich daraus so viele Fragen ergeben, spricht auf jeden Fall dafür, dass man die weiter verfolgen sollte. Um das mit dem Zufall nicht nur bei bunten Bildern zu belassen, könnte man vielleicht mal ein paar Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, z.B. wie wahrscheinlich ist es, dass auf mindestens einer Diagonalen einer zufällig erzeugten Pseudo-Ulam-Spirale mehr als 80% aller Punkte markiert sind? Oder, wie wahrscheinlich ist es, dass an einer beliebigen Stelle einer Pseudo-Ulam-Spirale vier, fünf, sechs oder mehr Punkte diagonal nebeneinander liegen? Wie wahrscheinlich ist es, dass es mehrere Linien einer bestimmten Länge auf einer Spirale gibt? usw. Hätte ich gerade die Zeit dafür, würde ich mich mal dran machen und bisschen rechen. Vielleicht hat ja jemand anderes gerade Lust dazu.

  8. Dohm sagt:
    #8

    Ein Hoch auf die “sog.” Katzenmarker!

  9. Andi sagt:
    #9

    @Dohm: Danke, Dohm. Endlich mal jemand, der das zu schätzen weiß!

  10. André sagt:
    #10

    Ich muss Basti da zustimmen: ich hätte die Diagonalen auch nicht unbedingt gesehen. Außerdem ist der Hinweis auf die lange Spirale ein wenig merkwürdig, weil sie markiert ist. Dadurch sticht sie natürlich an sich heraus.

    Aber: alles in allem sehr interessant. Und es gibt durchaus Darstellungen, die mich faszinieren. Z.B. diese, bei der die Anzahl der Teiler in der Kreisgröße resultiert. Primzahlen sind dementsprechend weiß. Allerdings weiß ich nicht, wie sehr das auch wieder den Eindruck verzerrt. Beeindruckend sind die Diagonalen da allemal.

    @Dohm: Copy that!

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